Verschlagwortet: Chi-Quadrat-Verteilung

Markowitz Das Vorhandensein eines Schätzrisikos bedeutet, dass drei Risiko-Rendite-Werte für das Portfolioproblem relevant sind. Der erste ist das wahre Risiko-Rendite-Verhältnis des unbekannten optimalen Portfolios. Die zweite ist das prognostizierte oder geschätzte Risiko-Ertrags-Verhältnis des optimalen Portfolios. Der dritte ist das tatsächliche Risiko-Ertrags-Verhältnis, das aus der implementierten Portfoliobildungsregel erhalten wird. Die erwarteten Renditen und Risiko gemäß Modell entsprechen nicht annähernd den unbekannten optimalen Portfolio Parametern. Schätzer sind verzerrt und unterliegen hohen Varianz, insbesondere bei weniger als 120 Monatsrenditen. Möglichkeit zur Schätzfehler Reduktion mit dem Grand Mean: Mittelwert aller Renditen (historische durchschnittliche Marktrendite) Miserable Umsetzbarkeit der Markowitz Theorie: Keine zuverlässige Prognose bezüglich tatsächlichem Erwartungswert und Varianz eines InvestorsKeine zuverlässige Prognose der wahren Rendite und des Risikos des optimalen PortfoliosNaive Regeln (wie naive Diversifikation) können Markowitz Regeln outperformen Risikomaße Volatilität: Ermittlung der Standardabweichung Stetige Monatsrendite * Wurzel(12)stetige Wochenrendite * Wurzel(52) Value at Risk: definiert als der maximale Verlust, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit innerhalb eines definierten Zeitraums erlitten wird, der VaR ist ein einseitiges und verlustorientiertes Risikomaß, Standardform kann Risiko nur adäquat abbilden, wenn Prozess normalverteilt ist VAR Wert der Anlage * Quantil d. Standardnormalverteilung * VarVAR inkl. Wertänderung: VAR Modifizierter Value at Risk (Cornish Fisher): Wert für das Quantil der Verteilung anpassen, ersten drei Momente in der Regel ausreichend, keine Garantie, dass mehr Momente bessere Ergebnisse liefernConditional Value at Risk: Berechnung des durchschnittlichen Verlustes unter der Bedingung, dass ein Wert unter dem VaR realisiert wirdDrawdown: diskreten Abstand in Prozent eines untersuchten Kurses zum historischen Höchststand, meist Ermittlung des maximalen Drawdowns sowie der längsten Draw-downphase, bei All Time High: Drawdown von nullLower Partital Moments: erfasst das Risiko lediglich über die negativen Abweichungen von einer Ziel- bzw. Mindestrendite (rmin), für Omega, Sortino Ration und Kappa 3 LPM0: Ausfallswahrscheinlichkeit, LPM1: Ausfallserwartung, LMP2: im Spezialfall als Semivarianz Performancemaße Sharpe Ratio: zweidimensionales Maß (Rendite und Risiko), risikoadjustierte Rendite, Risikoprämie pro Einheit an übernommenen Gesamtrisiko verstehen, Vergleich unterschiedlicher Wertpapier, Portfolios und Indizes untereinander als auch mit dem Benchmark PortfolioOmega +1 Sortino RatioKappa 3Sterling RatioExcess Return on Value at RiskConditional Sharpe RatioModified Sharpe RatioAutokorrelationsbereinigte annualisierte Sharpe Ratio Der geringste leg bekommt das höchste Gewicht, q ist die Anzahl der Perioden, wenn Autokorrelation positiv, ist das Risiko größer und das Sharpe Ratio wird kleiner. Dort wo Liquidität gering ist, gibt es Autokorrelationen Tests Jarque Bera Test auf Normalverteilung, nutzt die Chi-Quadrat-VerteilungLjung Box Test auf Autokorrelation: Ho bedeutet nicht autokorreliert Dabei ist die Autokorrelation der Zeitreihe Z zum Lag l und K die Anzahl der zu testenden Autokorrelationen3 legs: Quartalsrendite, 11 legs: Monatsrenditen, 0 leg: ist 1 MVP (Minimum Varianz) VS TP (Tangenzialportolfio) MVP: Inverse Kovarianz Matrix * Spaltenvektor mit identischen Werten (kommt nur auf die Varianzen an)TP: Inverse Kovarianz Matrix * Renditevektor mit jeweiligen Werten (es kommt auf Varianzen und Rendite an) Black Litermann Schwächen der traditionellen Portfoliotheorie: Informationsaggregation: erwarteten Vektor mit Renditen und Varianz-Kovarianz Matrix, Renditeerwartungen müssen konsistent über den Anlagequerschnitt sein, ex-post Performance hängt von Prognosegüter der Renditeerwartungen abextreme Portfolioallokation: über 100% beziehungsweise short gehenSensitivität der Portfolioallokationen: kleine Änderungen in erwarteten Renditen einiger Anlageklassen bewirken große Änderungen in allen PortfoliogewichtenSchätzfehler in den Eingabegrößen: Unsicherheiten, Problem wenn Anlagen mit extremer Ausprägung mit hohen Schätzfehler behaftet sindReferenzrenditen welche Umkehroptimierung folgen, solange Renditen ändern, bis Gewichte der Marktkapitalisierung herauskommen Resampled Efficient Frontier Durchschnitt der Portfoliogewichte alle MVPs führt zum optimalen MVP in der Definition der Resampled Efficiency. Durchschnitt der Gewichte der Maximum Return Portfolios ergibt das MRP, dass die optimale Wahl für einen risikoindifferenten Investor reflektiert. Bei der MPR führt das RE zu wesentlich mehr Diversifikation als die Mean Variance. Die REF repräsentiert mithin die geeignete Methode in Zusammenhang mit Informationsunsicherheit. Bei völligen Fehlen von Sicherheiten (no information prior): gleichgerichtetes oder benchmark Portfolio. Die REF plottet unterhalb der klassischen efficient frontier weil sie Unsicherheit in der Information berücksichtigt. Cornish Fisher Erweiterung Verpackte (strukturierte) Anlageprodukte für Kleinanleger (unter 100.000) und Versicherungsanlageprodukte (PRIIP): Optionsscheine, Futures, Zertifikate auf ATX – jedoch keine Anleihen oder Aktien Kat1: mehr als den Anlagebetrag verlieren, oder wenn Preise nicht monatlich festgesetzt, Futures, Forwards, Short Optionen, Private Equity, Hedge Fonds auf Real EstateKat2: direkt oder auf synthetischer Basis ein nicht gehebeltes Produkt, Turbozertifikate, Sprinterzertifikate, Indexzertifikat, long auf DAX und Option auf DAX mit niedrigem AusübungspreisKat3: konstantes vielfaches der Preis, Plain Vanilla Option, HebelprodukteKat4: nicht vom Markt beobachtbaren Faktoren abhängig, Beteiligungen an Immobilien, Private Equity Sind tägliche Beobachtungen vorhanden, müssen diese genommen werden (mind. 2 Jahre), bei wöchentlichen (mind. 4 Jahre) und bei monatlichen (mind. 5 Jahre). Unterschied zwischen geometrischer und arithmetischer Rendite: halbe Varianz Cornish Fisher konvergiert nicht, es ist somit nicht sichergestellt, dass mehr Momente eine bessere Lösung liefern. Ist die Verteilung rechtschief (positive Schiefe) gibt es sehr positive Renditen (gut), das Quantil geht somit zurück. Die Kurtosis ist immer positiv, da vierter Moment und durch das Minus im Vorzeichen immer negativ, je höher umso stärker negativ – hängt aber vom Quartil ab ob es positiv ist oder nicht, je kleiner das Alpha umso negativer die Auswirkung. Die Cornish Fisher Erweiterung deshalb, da Wölbung oder Schiefe meist nicht der Normalverteilung entsprechen. Das Konfidenzintervall ist auf 97,5% festgelegt. Die Formel lautet: Bayesianische Verfahren Ein Prior ist entweder eine vernünftige Schätzung, die exogene Strukturen auf mögliche Lösungen vorgibt.Informed guess VS no information priorRenditeschätzung + Konfidenzintervall bayesianisches VerfahrenBayesianer: Subjektiv VS Frequentisten: rechnen Frequenz aus Daten ausund Bayes Mean y … historic estimated mean retunrs y … exogenous estimated viewshistoric return estimated covariance exogenous view covariancesI … identity matrix, Hauptdiagonale 1, sonst 0Der Bayes Mean ist ein gewichteter Durchschnitt aus Beobachtung und Prognose Fragen Was verstehen Sie unter einer relativen, bzw. unter einer absoluten Prognose (im Rahmen des Black-Litterman Modells)? In absolute views, investors specify the percentage return that they believe a certain asset will provide (ie. Asset 1 will have a x% return).In relative views, investors compare one asset to another in term (ie. Asset 1 will yield higher turn than asset 2 by x%). Within each view, investors also need to specify a confidence level showing how certain they feel about their views. Was ist unter Informationsaggregation zu verstehen? Die traditionelle Portfoliooptimierung benötigt als Eingabegrößen einen vollständigen Vektor mit erwarteten Anlagerenditen und die Varianz-Kovarianz Matrix Der Portfoliomanager muss für alle Anlageklassen im vorgegebenen Universum eine Einschätzung des Renditepotentials abgebenHäufig sind aber nur für ausgewählte Anlageklassen verlässliche Renditeprognosen vorhanden Renditeerwartungen müssen konsistent über den Anlagequerschnitt seinDurch die Korrelationsbeziehungen hat das prognostizierte Renditepotential für eine Anlagekategorie Auswirkungen auf die Renditeerwartungen aller übrigen AnlagekategorienDie Resultate der traditionellen Mean-Variance Portfoliooptimierung werden vornehmlich durch die relativen Renditedifferenzen determiniertDie ex-post Performance optimierter Portfolios hängt primär von der Prognosegüte der Renditeerwartungen ab und weniger von der Varianz-Kovarianz Matrix Erläutern Sie signifikante Unterschiede zwischen der Risikoprämie und der Gesamt-Rendite. Beziehen Sie den Begriff "reale Rendite" in die Antwort ein. Risikoprämie: Die Rendite Prämie ist die Rendite abzüglich des risikofreien Zinssatzes. Renditeaufschläge ähneln den tatsächlichen Renditen. Durch die Beseitigung der Auswirkungen unterschiedlicher risikofreier Zinssätze können die Renditeprämien relativ stabiler sein, als die Gesamtrenditen und in einem Prognosekontext auch nützlicher.Gesamtrendite: Total Return Prämien sollen anstelle von Gesamtrenditen als Basis für die MV Analyse in der Praxis verwendet werden.Reale Rendite: Wie kommt es dazu, dass man behaupten kann, die efficient frontier hätte eine Varianz? Eine MV efficient frontier basiert auf statistisch geschätzten Parametern. Da verschiedene Schätzungen statistisch äquivalent sein können, muss die MV efficient frontier eine Varianz aufweisen.Um die Varianz einer linear beschränkten MV efficient frontier zu schätzen, verwenden Sie das Jobson- und Korkie-Resampling-Verfahren, um "statistisch äquivalente" frontiers aus Optimierungseingaben zu berechnen. Die Sammlung von neu abgetasteten statistisch äquivalenten efficient frontiers zeigt die implizite Variabilität der efficient frontier. Wie ist die rang-assoziierte efficient frontier zu erstellen? Das Minimum Varianz Portfolio hat den Rang 1, während das maximale Renditeportfolio den höchsten Rang hat.Erstellen mit einer Gewichtung zwischen Tangentialportfolio und Minimum Varianz Portfolio wobei die Gewichtung eine Summe von 1 ergeben muss. Rang 1 entspricht dabei dem Minimum Varianz Portfolio (100% Minimum Varianz, 0% Tangential) und Rang N entspricht dabei dem Tangentialportfolio. Alle Ränge dazwischen ergeben in aufsteigender Reihenfolge eine höhere Gewichtung am Tangential und damit eine abnehmende am Minimum Varianz-Portfolio. Erläutern Sie die Methodik der REF. REF kann als Verallgemeinerung linear beschränkter Markowitz Mean Variance (MV) Portfolio-Optimierung betrachtet werden unter Beachtung von Unsicherheit in der Informationsmenge.Durchschnitt der Portfoliogewichte aller simulierter MVPs führt zum optimalen MVP in der Definition der Resampled Efficiency.Der grau schattierte Bereich wird von den REF-Portfolios gebildet. Diese liegen unterhalb und insgesamt gesehen nicht unerheblich innerhalb der Spannweiten an Risiko und Rendite, die vom klassischen MV-Modell suggeriert werden. Die REF ist KEIN statistisches Artefakt der Simulation sondern spiegelt eine kalkulierbare Investitionsalternative wider.Die REF repräsentiert mithin DIE geeignete Methodik im Zusammenhang mit Informations-Unsicherheit. Buch Chapter 1 - Introduction The Markowitz efficient frontier represents all efficient portfolios in the sense that all other portfolios have less expected return for a given level of risk or, equivalently, more risk for a given level of expected return. Small changes in input assumptions often imply large changes in the optimized portfolio. Consequently, portfolio optimality is often not well defined. Indeed, an equally weighted portfolio may often be substantially closer to true MV optimality than an optimized portfolio. Because of variability in the input estimates, many portfolios are statistically as efficient as the ones on the efficient frontier. Many of the most important methods for reducing the instability and ambiguity of the optimization process and enhancing its investment value are based on statistical procedures that have largely been ignored by the financial community. Chapter 2 – Classic Mean Variance Optimization When the correlation is 1, as in the extreme right-hand curve in the exhibit, portfolio risk and expected return is a weighted average of the risk and return of the two assets. In this case, there is no benefit to diversification. In all other cases, except for the assets themselves, portfolio risk is less than the weighted average of the risk of the assets. In the case of a –1 correlation between two assets (the extreme left-hand curve), it is possible to eliminate portfolio risk. By definition, the benchmark has zero expected residual return and residual risk. The efficient frontier is the collection of all portfolios with maximum alpha for all possible levels of portfolio residual risk. In an asset allocation study, the number of risky assets rarely exceeds 50 and is typically in the range of 5 to 20. The assets generally include broad asset categories. In a benchmark relative framework, the residual return basis for optimization inputs is the difference between asset and index returns. The starting point are means and covariances of historic returns. For equity portfolio management, benchmark optimization is generally the framework of choice. The benchmark return is usually related to the return of a representative market index. The estimate of expected return associated with systematic risk generally derives from some version of the capital asset pricing model or arbitrage pricing theory. The return premium is the return minus the risk-free rate. It is often convenient to use total return premiums, instead of total returns, as the basis of MV analysis in practice. Return premiums are similar to real rates of return. By removing the impact of varying risk-free rates, return premiums may be relatively more stable than total returns and more useful in a forecasting context. Technically, corner portfolios are efficient frontier portfolios that represent transition points where at least one of the inequalities in the optimization either becomes binding or is no longer binding on the solution. Less technically, a corner portfolio is an efficient portfolio in which an asset either enters or leaves the set of efficient portfolios in a neighborhood of the corner portfolio Chapter 3 – Traditional Criticism and Alternatives Most of the alternatives can be classified in one of five categories: (1) alternative risk measures; (2) utility function optimization; (3) multiperiod objectives; (4) Monte Carlo financial planning; and (5) linear programming. One obvious and intuitively appealing nonvariance measure of risk, discussed as early as Markowitz (1959), is the semivariance or semistandard deviation of return. In this risk measure, only returns below the mean are included in the estimate of variability. The semivariance is an example of a “downside” risk measure. Markowitz MV efficiency is strictly consistent with expected utility maximization only under either of two conditions: normally distributed asset returns or quadratic utility. The normal distribution assumption is unacceptable as a realistic hypothesis. In addition, the limitations of quadratic utility as a representation of investor behavior are well known and unacceptable. Consequently, MV efficiency is not strictly consistent with expected utility maximization. On the other hand, there are significant practical limitations to using utility functions as the basis of defining an optimization. One obvious limitation is the feasibility and viability of practical algorithms for computing optimal portfolios. In practice, investor utility is unknown. Markowitz MV efficiency is formally a single-period model for investment behavior. Many institutional investors, however, such as endowment and pension funds, have long-term investment horizons. N-period horizon MV efficiency leads to the simple decision rule of considering only MV efficient portfolios on the lower segment of the efficient frontier up to the critical point efficient portfolio. In a Monte Carlo financial planning study, a computer model simulates the random functioning of fund values and changes in liabilities over time. Linear programming portfolio optimization is a special case of quadratic programming. The most significant difference is that linear programming does not include portfolio variance. In this procedure, the objective is to maximize expected equity portfolio return subject to a variety of linear equality and inequality constraints on portfolio structure. Chapter 4 – Unbounded MV Portfolio Efficiency The optimal portfolio found from the formula is the maximum Sharpe ratio (return/risk) portfolio. It is also convenient to compute the minimum variance portfolio. All the portfolios on the MV efficient frontier are linear combinations of the maximum Sharpe ratio portfolio and the minimum variance efficient portfolios. Since there are no limitations on leverage or lending in the optimization, the set of portfolios on the unbounded efficient frontier may extend below the minimum variance portfolio and beyond the maximum Sharpe ratio portfolio. MV optimization is highly sensitive to even small changes in risk and return estimates. The results show that shorter estimation periods have a significant impact on increasing estimation error and reducing the average performance of optimized portfolios, all other things being the same. There are three reasons why our simulations find less serious negative results for average out-of-sample investment performance: (1) lower variance diversified asset classes; (2) longer historic estimation period; and (3) smaller number of assets in the optimization universe. The importance of estimation error in asset management practice is far more important than has been appreciated by much of the investment community. Ignoring the statistical nature of MV efficiency leads to counterproductive and suboptimal investment practices. Chapter 5 - Linear Constrained MV Efficiency The simplest nontrivial linear constrained MV optimization of interest includes a budget and nonnegative inequality constraints on assets. An unconstrained MV optimization significantly overweights (underweights) those securities that have large (small) estimated returns, negative (positive) correlations, and small (large) variances. These securities are, of course, the ones most likely to have large estimation errors. The error maximization effect creates unintuitive extreme allocation MV optimized portfolios. Does the efficient frontier have a variance? An MV efficient frontier is based on statistically estimated parameters. Because different estimates may be statistically equivalent, the MV efficient frontier must have a variance. To estimate the variance of a linear constrained MV efficient frontier, use the Jobson and Korkie resampling procedure to compute “statistically equivalent” frontiers from optimization inputs. The collection of resampled statistically equivalent efficient frontiers demonstrates the variability implicit in efficient frontier estimation. The simulations clearly show that estimation error in both the risk and return dimensions strongly affects MV optimality ambiguity. Some resampled efficient frontiers extend only half the range of risk of the original frontier, while others have substantially more risk. The associated minimum variance portfolios cluster nearly indistinguishably close to the minimum variance classical efficient portfolio so that they are nearly indistinguishable. The maximum return simulated portfolios consist of only the highest return assets, so they are easily associated. Chapter 6 – The resampled efficient frontier Resampled Efficient Frontier (REF) optimization, a generalization of linear constrained Markowitz MV portfolio optimization that includes uncertainty in investment information in the optimization process. REF optimality typically leads to a more effective level of diversification and risk management. For a highly risk-averse investor, the minimum variance portfolio is the optimal portfolio for any simulated efficient frontier. Since all simulated efficient frontiers are equally likely, Resampled Efficiency (RE) defines the optimal minimum variance portfolio as the average of the portfolio weights of all the simulated minimum variance portfolios. Similarly, RE optimality can be defined for the utility function that characterizes any investor’s risk-return preferences. The average of the maximum expected utility tangent portfolios on simulated MV efficient frontiers defines the RE optimal portfolio. The results demonstrate that REF portfolios reflect safer, less extreme investments when uncertainty in investment information is considered. More generally, the REF is based on averages of all properly associated optimal portfolios on the simulated MV efficient frontiers. REF portfolios lie below and generally well within the range of portfolio risk spanned by the MV efficient frontier. The REF properly reflects portfolio optimization in the context of information uncertainty. To drive the point home, consider an investor with a complete lack of certainty in his or her investment information. In this case the optimal efficient frontier is the no-information prior portfolio, either equal or benchmark weighted. The REF portfolio is the no-information portfolio in this case, while Markowitz optimization remains insensitive to information uncertainty. RE optimization addresses the issue of estimation error sensitivity intrinsic to MV efficiency. One of the most attractive features of REF portfolios in practice is that they are often consistent with investment intuition without the need for ad hoc constraints. The number of simulated returns used to compute the simulated MV efficient frontiers is a free parameter of the RE optimization process. As the number of returns becomes large, the set of simulated risk-return estimates approaches the original risk-return estimates and the REF approaches the MV efficient frontier. When the number of observations becomes small, the REF approaches the no-information prior efficient portfolio. RE optimization is simply a generalization of Markowitz MV optimization that allows investors to control the amount of confidence they have in their investment information in the optimization process. The REF frontier may peak and then curve downward. This turning point is the “maximum return point” (MRP) of the REF. In this case the MRP portfolio may emerge where the REF has a downward-sloping inefficient. The REF plots below the classical frontier because it reflects uncertainty in investment information. GERMAN REF kann als Verallgemeinerung linear beschränkter Markowitz Mean Variance (MV) Portfolio-Optimierung betrachtet werden unter Beachtung von Unsicherheit in der Informationsmenge. Durchschnitt der Portfoliogewichte aller simulierter MVPs führt zum optimalen MVP in der Definition der Resampled Efficiency. Durchschnitt der Gewichte der simulierten Maximum Return Portfolios (MRPs) ergibt das MRP, das die optimale Wahl für eine risikoindifferente Investorin reflektiert. Die REF repräsentiert mithin DIE geeignete Methodik im Zusammenhang mit Informations-Unsicherheit. Völliges Fehlen von Sicherheit (in der Information) -> no-information prior (gleichgewichtetes Portfolio oder Benchmark Portfolio). RE Optimierung ist robust und grundlegend verschieden in Charakter und Allokation, auch wenn die beiden Frontiers (MV bzw. RE) in sample sehr ähnlich aussehen. Von wahren und geschätzten Optimierungs-Inputs Falls sie zufällig wissen sollten, dass Ihre Risiko-Return Schätzungen korrekt sind (im Sinne von: den wahren Werten entsprechen, also nicht bloß methodisch korrekt sind), DANN ist die Markowitz MV Optimierung die richtige Wahl der Methode. Problem: das gilt als höchst unwahrscheinlich! Die wahren Werte der Inputs sind nicht bekannt und prinzipiell nicht in Erfahrung zu bringen. Bestenfalls: INFORMED GUESS Sicherheitslevel und RE Optimalität Die Anzahl simulierter Renditen zur Kalkulation der simulierten MV efficient frontiers ist ein frei wählbarer Parameter des RE Optimierungsprozesses. Eine sehr hohe Anzahl führt zu einer Annäherung der RE an die MV efficient frontier. Begriff „Forecast Confidence Level“, reicht von 1 bis 10, von sehr niedrigem zu sehr hohem Informationsniveau. Auf dieser Skala ist die Markowitz Optimierung eine Elf und völlige Unsicherheit eine Null. Der REF Maximum Return Punkt (MRP) Die REF frontier (sic!) kann in einer Spitze gipfeln und sich dann wieder nach unten orientieren (Abb. 6.5 drittes Bild). Dieser Umkehrpunkt wird MRP genannt. Warum sollte eine Investorin statistisch insignifikante Assets berücksichtigen? Merton (1987): Anlageuniversum sollte durch investierbare Assets begrenzt sein. Michaud (2005a): Einbinden eines index-gewichteten Composite-Assets der statistisch insignifikanten Aktien. Implikationen für das Asset Management Die REF plottet unterhalb der klassischen efficient frontier weil sie Unsicherheit in der Information berücksichtigt. Chapter 11 – Bayes and Active Return Estimation Risk-return estimates in a portfolio optimization are typically a combination of current and historical information. In actual practice, managers often replace historical average returns with exogenous estimates based on current views of markets and assets. A Bayes procedure is essentially a conditional probability statement. To illustrate, in a deck of playing cards the probability of randomly choosing a heart is one fourth. However, if we happen to know that the card drawn is a red card, the additional information improves the probability of choosing a heart to one half. Bayes Mean Bμ + (I − B) yThe Bayes or mixed mean estimate of return represents a weighted average of what we observe (μ) and what we forecast (y). It is weighted by the percentage of the total variance B explained by the historic data. As risk increases, the changes in the return estimates become more prominent. In the Bayesian framework exogenous views are assumed independent of historically estimated data. In practice, the independence requirement is difficult to satisfy. Manager views are often strongly influenced by recent market and economic history.

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Geschützt: Finanzmarktanalyse 2

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